57天，人类和AI合作搞定了4694个等式之间22028942个蕴含关系!
“等式理论计划”，由陶哲轩本人在2024年9月25日发起，目的是探索按蕴含关系排序的原群（magma）等式理论空间。
特别的是，在这个项目里，陶哲轩不仅集合了人类数学家的力量，还把AI工具纳入了合作者的范围，包括ChatGPT、Claude和GitHub C0pilot。
项目发起当日就正式启动，仅仅9天，项目进度就达到了99.866%。
而现在，在2200万+个需要证明的蕴含关系中，8178279个已被证实，13855193个已被证伪，仅有162个还悬而未决。
按陶哲轩的说法，就是离“宣布完全成功”基本只是“时间问题”:
因此，我们现在已经开始着手撰写论文了。
什么是“等式理论计划”
还是先来扒一扒陶哲轩这回究竟是整了个什么样的活儿。
简单说，“等式理论计划”是指:
采用”数学家+AI（包括自动定理证明系统和大模型）+证明辅助语言Lean”这样的协作方式，构建一个展示4694个magma等式（最多四次使用magma操作）之间所有蕴含关系的 “蕴含图”。
首先，这个计划的最初灵感源于陶哲轩本人对“去中心化”研究方式的畅想。
传统上，大部分数学研究项目都由少数专业数学家（通常1~5名）进行，每个人都对自己的部分更专业，且彼此可以相互验证。
不过也是因为存在验证环节，组织更大规模的数学项目（尤其是需要涉及公众贡献），一直具有挑战性。
而现在，通过AI工具以及Lean这样的证明辅助语言，数学项目的大规模协作变得可能。
打前阵的就有开源社区寻找梅森素数的成功尝试，在这个代号GIMPS的志愿项目中，任何拥有强大PC或GPU的人都可以加入寻找梅森素数。
虽然证明助手这样的AI工具在这个项目里用得还不多，但表达的精神是类似的。
因此，在开展等式理论计划之前，陶哲轩就打算搞一个实验:
在一个数学项目中，聚齐专业/业余数学家、AI工具、证明辅助语言Lean等，一同干大事!
受去年MathOverflow上一个等式问题的启发，这一次，陶哲轩将目光瞄准了代数领域中的magma。
当时的问题是酱婶儿的:
交换恒等式和常量恒等式之间是否存在等价关系?
抛开具体问题不谈，这里主要想说明magma涉及等式之间的关系。
简单来说，magma是一个代数结构，它由一个集合和一个在该集合上定义的二元运算组成，但不要求满足任何额外的代数性质，如结合律、交换律等。
我们常见的有关magma的等式包括:
而等式理论计划，就是要找出magma中不同等式之间的等价、推出和非推出关系。
就拿上面这11个等式来看，最终的关系图be like:
可以看出，常量公理等式（1）蕴含了其他所有等式，即如果1成立，那么其他等式也自动成立;而反身公理等式(11)由于最宽松(x=x)，几乎所有的magma都满足这个公理。
回到计划本身，陶哲轩等人在初始阶段集中研究了那些只包含一个方程的magma定律，这些方程最多包含四个magma操作（即二元运算）。
举个例子，如果我们有一个magma（M，∗），其中M是元素的集合，∗是定义在M上的二元运算。
则一个“最多四次使用magma操作”的表达式如下:
- a∗b（一次操作）
- （𝑎∗𝑏）∗𝑐(a∗b)∗c(两次操作)
- 𝑎∗（𝑏∗(𝑐∗𝑑）)a∗(b∗(c∗d))(三次操作)
- （(𝑎∗𝑏）∗𝑐)∗(𝑑∗𝑒)((a∗b)∗c)∗(d∗e)(四次操作)
其中𝑎，𝑏，𝑐，𝑑，𝑒都是集合M中的元素，每次∗的使用都算作一次magma操作。
这样的等式定律有4694个，由于每个定律都可能蕴含其他4693个定律（一个定律不能蕴含自身），因此总共有4694*(4694-1) =22，028，942个可能的蕴含关系需要被证明或反驳。
这里的蕴含关系包括“蕴含”和“反蕴含”，其中“蕴含”关系又涉及到两种类型:
- 已证明的蕴含:在Lean中已经过验证
- 推测的蕴含:尚未在Lean中验证，可能由人或计算机生成
更多项目细节，陶哲轩在项目日志中，留下了非常详细的记录——
9天进度99.866%，大模型有用但“表现低于预期”
简单总结“等式理论计划”的进度，就是一个字:快。
陶哲轩本人都说:
这个项目的进度远超我的预期。
有多快?
仅仅48小时，很大一部分蕴含关系就已“解决在望”。
项目启动第5天，项目参与者们已经从最初的约2200万条蕴含关系中解决了大量简单蕴含，只剩下约300万的数量尚待解决。
项目启动第9天，随着首次重大重构的完成——合作者们改进了magma的运算符号，以使Lean代码的编译速度显著加快，以及一些研究问题的推进，项目完成度一举从87%跃升到了99.866%。
第19天，项目进度来到99.9963%。陶哲轩在他的博客文章中提及，写论文的事已经提上日程，并且可能包含数十名作者。
GitHub显示该项目有45位贡献者:
到了11月21日，也就是项目第57天，随着主项目最后一个未解决的蕴含关系被搞定（待验证），“等式理论计划”目标已宣告达成。
论文可以正式开写了。
陶哲轩透露，论文的框架早已拟好，但后续还需要大量工作来对其进行更新，并转换为可以提交的形式。
日志中也详细谈到了大模型工具发挥的作用。
在第一天，陶哲轩就对GitHub C0pilot大加赞赏:
GitHub Copil0t在处理日常任务时非常有用，比如输入需要证明的新Lean定理，或者更新蓝图来整合最新的PR结果。
他具体举了个例子:要将Lean转换为LaTeX，把Lean代码粘贴为注释，开始敲LaTeX，GitHub Copil0t就会自动补全剩下的内容。
不过，陶哲轩也坦率表示，大模型们在项目中的表现“低于预期”，更多的时候，数学家们用到的还是“经典AI”，比如自动定理证明器Vampire等。
他还提到:
项目的参与者非常多元化，包括处在职业生涯各个阶段的数学家和计算机科学家，学生和业余爱好者。Lean在整合人类和机器生成的贡献方面表现出色。机器生成的部分在数量上是贡献的最主要来源，不过，许多自动生成的结果最初是人类在特殊情况下得出的，之后被进一步推广和形式化。
具体到项目中，GitHub Copil0t的主要作用还是加快代码的编写，而Claude则被用来帮忙创建可视化工具，比如这个“等式浏览器”:
ChatGPT则更多扮演激发数学家们灵感的小助手角色。
对陶哲轩来说，ChatGPT能帮他快速掌握通用代数的一些细节。
而lyphyser、Daniel Weber、Fan Zheng和Bhavik Mehta这几位项目参与者，还通过跟ChatGPT的讨论，证明1659这个等式可能具有非平凡的合流性。
主项目里程碑达成，不过“等式理论计划”的其他衍生项目仍在进行中，比如研究在有限原群限制下的类似蕴含图、对蕴含图进行数据分析等等。
陶哲轩也再次强调了这一项目和AI的联系:
希望项目中的蕴含关系能够作为未来AI数学工具的基准测试。
除了陶哲轩之外，项目的主要维护人还有意大利数学家Pietro Monticone和Shreyas Srinivas。两位都是Lean重度爱好者。
△Shreyas Srinivas主页
Pietro Monticone还和他特伦托大学的同事们一起搞过指数3的费马大定理的Lean版证明。
GitHub:
https://github.com/teorth/equational_theories
参考链接:
[1]https://mathstodon.xyz/@tao/113522452070896956
[2]https://teorth.github.io/equational_theories/
[3]https://terrytao.wordpress.com/2024/10/12/the-equational-theories-project-a-brief-tour/
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